Question

如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2） .

【解析】试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证 平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点， ， ， 方向分别为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．

试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.

因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.

因为平面， 平面，所以.又平面， 平面= ，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.

（2）以点为原点， ， ， 方向分别为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，则， .平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.

在中，由，得，则， .

所以， .所以.

设二面角的大小为，则 .

点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．