Question

已知函数，直线.

（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求公共点横坐标的值；

（2）若，求证： .

Answer

（1）公共点的横坐标为和；（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)利用题意分类讨论 和 可得公共点横坐标的值为和；

(2)利用不等式的特点构造函数，结合新函数的特点和题意可得结论成立.

试题解析：

【解析】
（1）由，得，

易知时， 单调递减， 时， 单调递增，

根据直线的方程，可得恒过点，

①当时，直线垂直轴，与曲线相交于一点，即焦点横坐标为；

②当时，设切线，直线可化为，斜率，

又直线和曲线均过点，则满足，

所以，两边约去后，

可得，化简得，

切点横坐标，综上所述，由①和②可知，该公共点的横坐标为和；

（2）①若时，欲证，

由题意，由问可知在上单调递减，证对恒成立即可.

设函数，则，

即，

设，则，

易知时， 单调递减， 时， 单调递增，

当时，有，且满足，故，

即，又，则，

所以在上单调递减，有，

即，所以.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．