Question

已知函数，直线.

（1）若直线与曲线相切，求切点横坐标的值；

（2）若函数，求证： .

Answer

（1）公共点的横坐标为；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）设切点，根据导数几何意义得，又，解得，最后讨论切线斜率不存在的情形不满足题意，（2）先等价转化不等式为对一切 恒成立，再利用导数研究函数最小值，即得结论

试题解析：（1）由，得，

易知时， 单调递减， 时， 单调递增，

根据直线的方程，可得恒过点，

①当时，直线垂直轴，与曲线相交于一点，无切点；

②当时，设切点，直线可化为，斜率，

又直线和曲线均过点，则满足，

所以，两边约去后，

可得，化简得，

切点横坐标，综上所述，由①和②可知，该公共点的横坐标为；

（2）欲证 ，即证 对一切 恒成立，设，则 ，易知时， 单调递减， 时， 单调递增，所以 ，原命题得证

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.