Question

已知球内接四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；

（2）求点到平面的距离.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）线线角找平移：在正方形中， ，所以是异面直线和所成的角或其补角，再利用等腰三角形性质求余弦值（2）先根据平行转化到平面的距离等于到平面的距离，再利用等体积法求高，即得点到平面距离

试题解析：由球的表面积公式，得球的半径，

设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，

连，则，

则在，有，即，可得正方形的边长为,

侧棱.

（1）在正方形中， ，所以是异面直线和所成的角或其补角，

取中点，在等腰中，可得，斜高，

则在中， ，

所以异面直线和所成的角的余弦值为；

（2）由为中点，得，

且满足平面平面，所以平面，

所以到平面的距离等于到平面的距离，

又因为,

再设到平面的距离为，则由，

可得，则，

所以点到平面的距离.