Question

（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，；

（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

考点： 函数的单调性、极值与最值.