Question

如图1，在边长为3的正三角形中， ， ， 分别为， ， 上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结， ， .（如图2）

（Ⅰ）若为中点，求证： 平面；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）求与平面所成角的正切.

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）取中点，连结， .由三角中位线可证四边形为平行四边形，则，再由线线平行到线面平行；（Ⅱ）取中点，连结，由所给数据可证平面平面，再由面面垂直，线面垂直的性质可得；（Ⅲ）作于，连接，则，可得为与平面所成角，可求其正切值．

试题解析：证明：（Ⅰ）取中点，连结， .

在中， ， 分别为， 的中点，

所以，且.

因为，

所以，且，

所以， .

所以四边形为平行四边形.

所以.

又因为平面，且平面，所以平面.

（Ⅱ）取中点，连结.

因为， ，

∴，

而，即是正三角形.

又因为，所以.

所以在图2有.

因为平面平面，平面平面所以平面由平面所以

（Ⅲ）作于，连接，则

因为， ， ，因此平面，

因此平面，因此是在平面内的射影，

因此为与平面所成角，

， ，

中， ，于是

因此，

因此与平面所成角的正切为