Question

设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根， ，证明.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：

①若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；

②若时，函数单调递增；

③若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.

(2)构造新函数 ，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.

试题解析：

（1）由，可知 .

因为函数的定义域为，所以，

①若时，当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增；

②若时，当在内恒成立，函数单调递增；

③若时，当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增.

（2）证明：由题可知 ，

所以 .

所以当时， ；当时， ；当时， .

欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.

设， 是方程的两个不相等的实根，不妨设为，

则

两式相减并整理得 ，

从而，

故只需证明，

即.

因为，

所以（*）式可化为，

即.

因为，所以，

不妨令，所以得到， .

记， ，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.

又，

因此， ，

故， 得证，

从而得证.