Question

如图所示的几何体中，底面为菱形， ， ， 与相交于点，四边形为直角梯形， ， ， ，平面底面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.

(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）因为底面为菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，从而.

又，所以平面，

由， ， ，

可知， ，

， ，

从而，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中， ，所以分别以， ， 的方向为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），

则， ， ， ， ，

所以 ， ， .

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.

设平面的法向量为，

则即即令，得，

所以.

从而 .

故所求的二面角的余弦值为.

点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．

两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．