Question

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）求出导数，计算出斜率，得切线方程为，整理即得；

（2）不等式变形为，因此只要求得的最大值，解不等式可得，利用导数讨论的单调性，求出，对分类讨论，当时， 恒成立， 是增函数，可取一个值，使，不合题意，当时，可求得，因此有，考虑它的整数解，注意此函数是的减函数，那个取满足题意，得结论．

试题解析：

(1)因为，所以切线方程为，

即.

(2)令，所以

，当时，因为，所以，所以是上的递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立. 当时， ，令得，所以当时， ，因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为

.令，则在上是减函数，因为，所以当时， ，所以整数的最小值为.

点睛：由不等式恒成立或不等式有解求参数范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解最值，或者求解其函数最值繁琐，又或不能直接分离参数，可采用直接构造函数的方法，构造函数后求含参数的函数的最值，此时要注意分类讨论．