Question

设函数（，且），，（其中为的导函数）.

（1）当时，求的极大值点；

（2）讨论的零点个数.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）令求出的极值点，判断的符号变化即可得出答案；
（2）对a和x进行讨论，利用零点的存在性定理，结合函数的图象判断零点的个数．

试题解析：

（1），

当时， ；当时， ，故的极大值点为；

（2）（i）先考虑时， 的零点个数，当时， 为单减函数，

； ，由零点存在性定理知有一个零点；

当时，由得

，令，则.

由得， ，当时， ；当时， ，

故， ，且总成立，故的图像如下图，

由数形结合知，

②若即时，当时， 无零点，故时， 有一个零点；

②若即时，当时， 有一个零点，故时， 有个零点；

③若即，当时， 有个零点，故时， 有个零点.

（ii）再考虑的情形，若，则，同上可知，

当即时， 有一个零点；

当即时， 有个零点；

当即时， 有个零点.

综合上述，

①当或时， 有一个零点；

②当或时， 有个零点；

③当或时， 有个零点.

点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.