Question

如图，在平行四边形中， ，分别过点作直线， 垂直平面，且， .

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值.

Answer

（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设.以点为原点， 分别为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，通过证明， ，可得平面.

（II）由（Ⅰ）可求平面的法向量和平面的法向量，即可得二面角的平面角的正弦值.

试题解析：

（Ⅰ）设.

由可知，平行四边形为菱形，

∴.则以点为原点， 分别为轴，

过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，

那么， ， ， ，

∵， ， ，

易得， ，

∴， ，又，

∴平面.

（II）由（Ⅰ）知， ， ， ， ，设是平面的一个法向量，则， ，取，得.

设是平面的一个法向量，则， ，取，得.

则，

即得二面角的平面角的正弦值为.

点睛：本题考查的是用向量法证明线面垂直和求二面角问题，利用向量法求解空间线面关系和空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.