Question

已知圆经过变换后得曲线.

（1）求的方程；

（2）若为曲线上两点， 为坐标原点，直线的斜率分别为且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.

Answer

（1）（2）直线被圆： 截得弦长的最大值为，

此时，直线的方程为．

【解析】试题分析：（1）根据转移法求轨迹方程：将代入得，化简可得（2）先根据斜率公式表示为，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，由垂径定理得圆心到直线的距离最小时，弦长最大，而，因此当时，弦长最大，可得此时直线的方程.

【解析】
（Ⅰ）将代入得，

化简得，

即为曲线的方程．

（Ⅱ）设， ，直线与圆： 的交点为．

当直线轴时， ，

由得或

此时可求得．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

联立消得，

， ， ，

所以 ，

由得， ，

此时．

圆： 的圆心到直线的距离为，

所以，

得，

所以当时， 最大，最大值为，

综上，直线被圆： 截得弦长的最大值为，

此时，直线的方程为．

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.