Question

如图，矩形（），被截去一角（即），， ，平面平面， .

（1）求五棱锥的体积的最大值；

（2）在（1）的情况下，证明： .

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）过作，由面面垂直性质定理得平面，即为五棱锥的高，再利用平几知识计算底面面积，由得在以为焦点，长轴长为的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知：点为短轴端点时， 到的距离最大，最后代入锥体体积公式即可，（2）过作，由面面垂直性质定理得平面，即得，再在平面内，根据平几知识计算可得．最后根据线面垂直判定定理得平面，即得．

试题解析：（Ⅰ）【解析】
因为， ，

所以， ，

所以截去的是等腰直角三角形，

所以．

如图3，

过作，垂足为，

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面， 为五棱锥的高．

在平面内， ， 在以为焦点，长轴长为的椭圆上，

由椭圆的简单的几何性质知：点为短轴端点时， 到的距离最大，

此时， ，（指出即可，未说明理由不扣分）

所以，

所以．

（Ⅱ）证明：连接，如图，据（Ⅰ）知， ，故是等腰直角三角形，所以，

所以，即．

由于平面，所以，

而，所以平面，

平面，所以．