Question

已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)对函数求导： ，，分类讨论：

①当时，在上单调递增.

②当时，在，上单调递增，

在单调递减.

(2)将问题转化为：令，，

则，

∴实数的取值范围是.

试题解析：

【解析】
函数（为常数）

（1），，

①当时，成立，

若，则，，

当时，恒成立，

所以当时，在上单调递增.

②当时，

∵，或，

，，

∴在，上单调递增，

在单调递减.

（2）∵，，

∴，在单调递增，

，

存在使得不等式成立，

即，

∵任意的，

∴，

即恒成立，

令，

∵恒成立，最后化简为，

∵任意的，

，

∴，是增函数，

∴，

∴实数的取值范围是.