定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的...

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

（1）见解析（2）函数在上的最大值. 【解析】【试题分析】【解析】（1）当时，，令，得，当变化时，的变化如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值极小值由上表可知，函数的递减区间为，递增区间为. （2），令，得，令，则，所以在上递增，所以，从而，所以，所以当时，；当时，；所以. 令，则，令，则，所以在上递减，而，所以存在使得，且当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“=”. 综上，函数在上的最大值.

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考点分析：

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