Question

在三棱柱中，侧面为矩形， ， ， 为的中点， 与交于点， 侧面.

（1）证明： ；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得： 平面，结合线面垂直的定义有： .

(2)建立空间直角坐标系，由空间坐标系求解直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

证明：（1）由题意可知，在中， ，

在中， ，

又因为， ，所以，

所以，

所以，

又侧面，且侧面，∴，

又与交于点，所以平面，

又因为平面，所以.

【解析】
（2）如图所示，以为原点，分别以， ， 所在的直线为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， .

又因为，所以，

所以， ， ，

设平面的法向量为，

则由，得，

令，则， ， 是平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.