Question

设函数.

（1）若直线和函数的图象相切，求的值；

（2）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，

求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用导数的意义，设切点，得斜率，列方程求即可；

（2）由（1）得当， ；当时， ，取绝对值构造函数即可.

试题解析：

（1）设切点的坐标为，由，得，

所以切线方程为，即，

由已知和为同一条直线，所以，

令，则，

当时， 单调递增，当时， 单调递减，

所以，

当且仅当时等号成立，所以.

（2）①当时，有（1）结合函数的图象知：

存在，使得对于任意，都有，

则不等式等价，即，

设 ，

由得，由得，

若，因为，所以在上单调递减，

因为，

所以任意，与题意不符，

若，所以在上单调递增，

因为，所以对任意符合题意，

此时取，可得对任意，都有.

②当时，有（1）结合函数的图象知，

所以对任意都成立，

所以等价于，

设，则，

由得得， ，

所以在上单调递减，注意到，

所以对任意，不符合题设，

总数所述， 的取值范围为.

点睛：不等式的恒成立问题，常用的方法有两个：

一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；

二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.