Question

已知椭圆： （）的离心率为， ， ， ， 的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证： 为定值.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据离心率为，即， OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.

试题解析：（Ⅰ）由题意得解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

设，则.

当时，直线的方程为.

令，得，从而.

直线的方程为.

令，得，从而.

所以

.

当时，，

所以.

综上，为定值.

【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力

【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.