Question

已知函数（）

（1）讨论的单调性；

（2）设，若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)函数的导函数,分类讨论可得：

时， 的增区间为 ，减区间为；

时， 的增区间为；

时， 的增区间为 ，减区间为；

时， 的增区间为上单增，减区间为.

(2)对函数求导，由根与系数的 关系： ，据此有： ，分离系数： ，构造新函数，利用恒成立的条件可得.

试题解析：

【解析】
（1），

令，得， ，

当，即时，在 上， ，在上，此时， 的增区间为 ，减区间为；

当，即时，在上，此时， 的增区间为；

当，即时，在 上，在上，此时， 的增区间为 ，减区间为；

当，即时，在上，在 ，此时， 的增区间为上单增，减区间为.

（2），

有两个极值点，

是方程的两个不相等实根，

∴，且，

由，得

整理得 ，

将代入得 ，

因为，所以

于是对恒成立，

令，则，

所以 ， 在单减，

所以 ,

因此 .