Question

函数，．

（Ⅰ）讨论的极值点的个数；

（Ⅱ）若对于，总有.（i）求实数的范围； （ii）求证：对于，不等式成立．

Answer

见解析.

【解析】【试题分析】（Ⅰ）先运用求导法则求函数的导数，再分类进行探求； （Ⅱ）先将不等式进行等价转化，再构造函数借助导数的有关知识进行推证：

（Ⅰ）解法一：由题意得， 令

（1）当，即时，对恒成立

即对恒成立，此时没有极值点；…………2分

（2）当，即

①时，设方程两个不同实根为，不妨设

则，故

∴时；在时

故是函数的两个极值点.

②时，设方程两个不同实根为，

则，故

∴时，；故函数没有极值点. ……………………………4分

综上，当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点. ………………………………………5分

解法二：, …………………………………………1分

,

当，即时，对恒成立，在单调增，没有极值点； ……………………………………………………………3分

②当，即时，方程有两个不等正数解，

不妨设，则当时，增；时，减；时，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点.

综上所述，当时，没有极值点；

当时，有两个极值点. ………………………………5分

（Ⅱ）（i），

由，即对于恒成立，设，

，

，时，减，时，增，

，． ……………………………………9分

（ii）由（i）知，当时有，即：，……①当且仅当时取等号, ……………………………10分

以下证明：，设，，

当时减，时增，

，，……②当且仅当时取等号；

由于①②等号不同时成立，故有.……………………………12分

点睛：本题以函数参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用，求解过程中充分运用题设条件，借助导数与函数的单调性极值（最值）等基础知识与基本方法以及等价转化与化归的数学思想、分类整合思想的进行分析求解和推证，从而使得问题获解。