Question

如图，在四棱锥中，底边是正方形，侧棱底面,点是的中点，作于点

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）证线面垂直需在平面内找两条相交直线与之垂直即可， ， 可得平面（2）线面角建立空间直角坐标系，自出线和法向量坐标则求出即得结论

试题解析：

（Ⅰ）侧棱底面

又,点是的中点，

底边是正方形， ,

又，且

平面,

又且,

平面.

又于点,且平面

（Ⅱ）分别以为轴， 轴， 轴建系如图：

设点的坐标为，则，

因为

因为

点的坐标为

设是平面的法向量，则,可取

则

故直线与平面所成角的正弦值为

点睛：证明立体几何问题，首先要明确判定定理，然后根据题意找出对应条件即可，而对于线面角，线线角，二面角等问题则建系用向量方法求解比较容易