Question

已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.

（Ⅰ）试比较与的大小，并说明理由；

（Ⅱ）若函数有两个不同的零点， ，证明： .

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（I）切线与直线垂直，即在该点导数为，利用导数为列方程可求得的值.利用导数判断函数的单调区间，得函数在上为减函数，故，化简得.（II）不妨设因为，

所以化简得， ，两式相加和相减，利用分析法分析要证明的不等式，将不等式转化为证，利用换元法和导数作为工具，可证明上述不等式成立.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）依题意得， ，

所以，又由切线方程可得，即，解得.

此时， ，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以的增区间为，减区间为.

所以，即.

， .

（Ⅱ）证明：不妨设因为，

所以化简得， .

可得， ，

要证明， 即证明，也就是.

因为，所以即证，

即，令，则，即证.

令（）.由 ，

故函数在是增函数，所以，即得证.

所以.

点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后再利用导数来证明.