Question

如图所示的多面体中， 是平行四边形， 是矩形， 面， ， .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（I）在三角形中，利用余弦定理求得，利用勾股定理可的，利用由平面得到，所以平面，进而平面平面.（II）建立以为坐标原点，以射线， ， 分别为轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系，利用的方向向量和平面的法向量代入公式计算得与平面所成角的正弦值.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）证明：在平行四边形中， ， ，

由余弦定理，得，

从而，故.

可得为直角三角形且，

又由平面， 平面，得.

又，所以平面.

由平面，得平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得在中， ， ，又由，

设， ，由平面， ，

建立以为坐标原点，以射线， ， 分别为轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：

得， ， ， .

设平面的法向量为，得

所以

令，得，

又因为，

所以 .

所以直线与平面所成角的正弦值为.

点睛：本题主要考查余弦定理和勾股定理解三角形，考查面面垂直的证明思路和方法，考查利用向量法求线面角的正弦值.要证明面面垂直，则通过线面垂直来证明，要证明线面垂直，则是通过线线垂直来证明，在证明线线垂直的过程中，可利用勾股定理或者线面垂直来证.空间向量法求解的过程主要注意坐标和法向量不要求错.