Question

设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时， ；③．

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）证明在是减函数；

（Ⅲ）如果不等式成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ））.

【解析】试题分析：（1）利用赋值法，求、的值．
（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．

试题解析：

（Ⅰ）令易得．

而，

且，得．

（Ⅱ）

∴

∴在上为减函数．

（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得： ，其中，

由（Ⅱ）得： ，解得的范围是）

点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.