Question

如图，直角三角形中， ， ， ， 为线段上一点，且，沿边上的中线将折起到的位置.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）当平面平面时，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得平面，由线面垂直的判断定理可得.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得二面角的余弦值为．

试题解析：

由已知得， .

（Ⅰ）证明：取中点，连接，因为， 且，所以，所以. 又因为， 为的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以.

（Ⅱ）因为平面 平面，平面 平面， ， 平面，所以平面，所以两两垂直. 以为坐标原点，以、、所在直线分别为

轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， ， ，

， ，设平面的法向量为，则，不妨令，得. 又平面的一个法向量为，

所以，即二面角的余弦值为.