已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形...

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．

（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，又椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，由椭圆几何条件得，解得，（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得，再利用点到直线距离公式求高，根据三角形面积公式得．最后利用基本不等式求最值. 试题解析：【解析】（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为． ∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形， ∴．又，∴．由，得． ∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设．联立消去，得．此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴． ∵原点到直线的距离， ∴．由，得．又，∴据基本不等式，得．当且仅当时，不等式取等号． ∴面积的最大值为．

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考点分析：

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