Question

如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形， ，四边形是矩形，平面平面， ， 为线段的中点．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）求证： ．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．

【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理得平面，即得锥体的高，再根据等体积法得，最后根据三角形面积与矩形面积关系得三角形面积，代入公式可得三棱锥的体积；（2）利用平几知识计算可得．又由平面可得．最后根据线面垂直判定定理可得．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）如图，记．

∵底面是边长为2的菱形， ，

∴，且， ．

∵四边形是矩形，平面平面，

∴平面．

∵， 为线段的中点，

∴．

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可知平面．

∴．

则在正方形中， ， ．

∴．

∴．

∵，且平面，

∴平面．