Question

已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点， 为坐标原点，求面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴．

又，∴．

∴曲线是以坐标原点为中心， 和为焦点，长轴长为的椭圆．

设曲线的方程为．

∵，∴．

∴曲线的方程为．

（Ⅱ）设．

联立消去，得．

此时有．

由一元二次方程根与系数的关系，得

， ．

∴ ．

∵原点到直线的距离，

∴ ．

由，得．又，∴据基本不等式，得

．

当且仅当时，不等式取等号．

∴面积的最大值为．

【点睛】

转化定义法是求轨迹方程的常用方法，转化定义时一般需要用到几何关系，如本题就利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

求面积是圆锥曲线中的常见题型，常涉及到弦长公式和点到直线的距离公式。本题的难度在于处用均值不等式处理两个变量的关系，而得到一个定值，即最值。