Question

如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形， ，四边形是矩形，平面平面， ． 为线段上一点，且平面．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）∵底面是边长为2的菱形， ，

∴，且， ．

∵四边形是矩形，∴．

∵平面平面，平面平面，

∴平面， 平面．

记．取中点，则．

∴平面．

如图，以为原点，分别以的方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系．

由题意，得， ， ， ， ， ．

∴， ．

∵为线段上一点，设．

∴．

∵平面，∴．

∵．解得．

∴．

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可知平面．

∴平面．

， ．

设平面的法向量为．

由，得．

取，则．

∵， ，

∴二面角的余弦值为．