Question

已知四边形是边长为的正方形， 平面， ，且， ， ， ，建立空间直角坐标系，如图所示.

（Ⅰ）在平面内求一点，使平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析: (1)设P点坐标为 ,由 平面 ,得 ,由向量垂直的充要条件, 求出 的值; (2) 由(1)得到平面 法向量为 ,取与共线向量 ,设平面 法向量为 ,由平面与其法向量的关系,得到一个 ,由向量夹角的计算公式,求出二面角的余弦值.

试题解析:（Ⅰ）由题意可知,,,，则， ，

设，则.

∵平面，

∴， ，

∴解得

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，所以不妨取平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则

∵， ，

∴

令，则， ，∴.

∵，

易知二面角是钝角，

∴二面角的余弦值为.