Question

有一个“乱点鸳鸯谱”节目：每次邀请四对青年夫妻，先由每人随机抽签获得顺序展示才艺，再由观众通过投票的方式实施男女配对（观众不知道他们的真实配对情况）.

（Ⅰ）求正确配对家庭数的期望；

（Ⅱ）设有对夫妻，记他们完全错位的配对种类总数为.

①求， ， ；

②推导， ， 所满足的关系式.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析: (1)设正确配对的家庭数为 ,则的可能取值为0,1,2,4,再分别求出 时的概率,写出的分布列,求出期望; (2)先求出 ,利用元素一一对应的关系以及排列相关知识求出 的关系.

试题解析:（Ⅰ）设正确配对的家庭数为，则的所有可能取值为.

， ， ，

.

∴的分布列为

.

（Ⅱ）①由题意可知， ， ， .

②对于个的元素，

及其对应元素，

由于不能对应，则与除去以外的个元素之一对应，不妨设与对应，则的对应分两类：

其（一）： 与对应，即

其余个元素的错位排列总数为；

其（二）： 不与对应，即

其余个元素的错位排列总数为，

于是， .