Question

设为实数，函数, .

（1）求的单调区间与极值；

（2）求证：当且时， .

Answer

(1)在上减,在上增;当时,取极小值（2）见解析

【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答．第一问，由， ，知， ．令，得．列表讨论能求出的单调区间区间及极值；第二问，设， ，于是， ．由第一问知当时， 最小值为，于是对任意，都有，所以在R内单调递增．由此能够证明．

试题解析：∵， ，

∴， ．

令，得．

于是当x变化时， ， 的变化情况如下表：

故的单调递减区间是，

单调递增区间是，

在处取得极小值，

极小值为，无极大值．

（2）证明：设， ，

于是， ．

由（1）知当时，

最小值为．

于是对任意，都有，所以在R内单调递增．

于是当时，对任意，都有．

而，从而对任意， ．

即，

故．

考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．