Question

选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，

试求当时， 的值.

Answer

（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为 它表示以为圆心、为半径的圆; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）曲线： ，可以化为；可得圆；

（Ⅱ）当时，直线的参数方程为 (为参数)，利用参数的几何意义求当， 的值.

试题解析：

（Ⅰ）曲线： ，可以化为

，

因此，曲线的直角坐标方程为

它表示以为圆心、为半径的圆．

（Ⅱ）法一：当时，直线的参数方程为 (为参数)

点 在直线上，且在圆内，把

代入中得

设两个实数根为，则两点所对应的参数为，

则，

法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为

即圆心的坐标为半径为，点 在直线上，且在圆内

圆心到直线的距离

所以弦的长满足