Question

已知函数在处的切线方程为

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若为整数，当时， 恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．

Answer

（Ⅰ）的单调区间递增区间为 ，递减区间为; （Ⅱ）整数的最大值为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（ln2）=1求导a值，再由f（ln2）=﹣ln2求得b值，代入原函数的导函数，再由导函数的符号与原函数单调性间的关系确定原函数的单调区间；

（Ⅱ）将条件转化为，当时恒成立. 令，利用导数求最小值得答案.

试题解析：

（Ⅰ），由已知得，故，解得

又，得，解得.

，所以

当时， ；当时，

所以的单调区间递增区间为 ，递减区间为.

（Ⅱ）法一.由已知，及整理得

，当时恒成立

令， .

当时， ；

由（Ⅰ）知在上为增函数，

又.

所以存在 使得，此时

当时， ；当时，

所以.

故整数的最大值为.

法二.由已知，及整理得，

令 ，

得， .

当时，因为，所以， 在上为减函数，

.

， 为增函数。

为减函数。

由已知 .

令， ， 在上为增函数.

又，

故整数的最大值为.

点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.