Question

已知，分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若点是第一象限内椭圆上的一点， ,求点的坐标；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为 ，与方程联立，得到根与系数的关系， 和 ，以及 ，根据向量的数量积可知， 为锐角，即 ，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.

试题解析：（1）易知.

，设，则

，又.

联立，解得，故.

（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，

设，

联立

由

，得.①

又为锐角，

又

.②

综①②可知的取值范围是

【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.