Question

已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求的解析式及单调递减区间；

（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）单调减区间为和；（Ⅱ） 的取值范围为： 或．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用切线求出参数值为2，解不等式可得减区间；

（Ⅱ）函数无零点，即方程在内无解，亦即要在内无解. 为此构造函数，利用导数研究的单调性，可得结论，注意对分类讨论

试题解析：

（Ⅰ）【解析】
，

又由题意有：，故. 

此时，，由或，

所以函数的单调减区间为和. 

（Ⅱ）【解析】

，且定义域为，

要函数无零点，即要在内无解，

亦即要在内无解. 

构造函数. 

①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，

在内也无零点，故满足条件； 

②当时，

⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；

⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；

⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. 

又易知，而，又易证当 时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件. 

综上可得：的取值范围为：或.

点睛：本题考查用导数研究函数的性质．考查函数的零点问题，解决此类问题的方法是转化与化归，函数的零点、方程的根、函数图象的交点之间经常相互转化，本题要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.  即函数的图象在上与轴无交点，这又可通过导数研究函数的单调性与极值，以确定函数图象的变化情况，从而确定结论．