Question

数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为．（这里均为实数）

（1）若是等差数列，求的值；

（2）若，求；

（3）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）若是等差数列，则对任意，有，

即，故．

（2）当时， ，即， ，

故．

所以，当是偶数时， ；

当是奇数时， ， ．

综上， （）．

（3）若是等比数列 ，则公比，由题意，故， ， ．

若为等差中项，则，即 ，解得（舍去）；

若为等差中项，则，即 ，因，故解得， ， ；

若为等差中项，则，即，

因为，解得．

综上，存在实数满足题意， ．