Question

已知抛物线（），其准线方程为，直线过点（）且与抛物线交于两点， 为坐标原点．

（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；

（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】（1）方法一：由题意， ，所以抛物线的方程为．

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则， ，．

当直线的斜率存在时，则，设的方程为， ， ，由消去，得，故，所以，．

综上，的值与直线倾斜角的大小无关．

方法二：由题意，，所以抛物线的方程为．

依题意，可设直线的方程为（），， ，由得，故，

所以，

综上，的值与直线倾斜角的大小无关．

（2）设，则， ，注意到，所以，

若，即，则当时， 取得最小值，即；

若，即有，则当时， 取得最小值，即；

综上所述，