Question

已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．

（1）求的值；

（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）根据抛物线焦半径公式及点在上列方程组可求得的值；（2）设， ，设直线的方程为，联立方程,消得, ，根据韦达定理可得．

试题解析：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得．

（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,

则直线的斜率,直线的斜率,所以．当直线不垂直于轴时, 设,

则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为．联立方程,消得, ,

所以,故,

综上, 直线与直线的斜率之积为．

考点：1、待定系数法求抛物线方程；2、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题．

【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．本题就是根据方法②求得直线与直线的斜率之积为定制的．