Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁， ，D为AC上的点，B₁C∥平面A₁BD；

（1）求证：BD⊥平面；

（2）若且，求三棱锥A-BCB₁的体积．

Answer

（1）见解析;（2）

【解析】【试题分析】（１）运用线面垂直判定定理推证；（２）先求三棱锥的高与底面面积再运用三棱锥的体积公式求【解析】

（1）连结ED，

∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，

∴B1C∥ED，

∵E为AB1中点，∴D为AC中点，

∵AB=BC， ∴BD⊥AC①

【法一】：由A1A⊥平面ABC， 平面ABC，得A1A⊥BD②，

由①②及A1A、AC是平面内的两条相交直线，得BD⊥平面.

【法二】:由A1A⊥平面ABC，A1A平面

∴平面⊥平面ABC ，又平面 平面ABC=AC，得BD⊥平面.

（2）由得BC=BB1=1，

由（1）知，又得,

∵，∴，

∴