Question

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程和函数的极值；

（Ⅱ）若对任意的， ，都有成立，求实数的最小值．

Answer

（Ⅰ）切线方程为；函数在时，取得极小值，函数没有极大值；（Ⅱ） 的最小值为1.

【解析】【试题分析】（１）运用导数的几何意义及导数与函数的单调性之间的关系求解；（２）依据题设运用导数的知识和分类整合思想分类分析探求：

（Ⅰ）因为，所以，

又，所以曲线在处的切线方程为.

令，解得， 及的变化情况如下表：

2

0

单调递减

极小值

单调递增

所以函数在时，取得极小值，函数没有极大值．

（Ⅱ）由题设知，当时， ；

当时， ，

若，令，则，

由于，显然不符合题设要求.

若，对，

由于，

显然，当时，对，不等式恒成立.

综上可知， 的最小值为1．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先运用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出其方程；接着运用导数与函数的单调性之间的关系求出极值点，进而求得极值；解答第二问时，依据题设条件运用导数的知识和分类整合思想对参数进行分类分析探求，从而使得问题获解。