Question

如图，在三棱柱中， 为的中点， ， .

（1）求证： 平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的有关知识与数量积公式分析求【解析】

（1）证明：

连结与相交于点，连结.

∵为中点，∴，

又∵平面平面，

∴平面.

（2）∵，

∴，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

∴平面平面.

如图，过在平面内作，垂足为．

∵平面平面，平面平面，

∴平面．

以点为原点， 的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：

．

设平面的一个法向量，则

，∴，解之得．

∴．

又∵．∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

点睛：立体几何是高中数学中的传统题型，也是高考重点考查的热点与重要考点。求解本题的第一问的方法是依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问时，则先依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算等有关知识，求出法向量，再借助向量的数量积公式分析求解从而使得问题获解。