Question

已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若经过定点的直线与曲线交于两点， 是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

Answer

(1) ;(2) 存在直线或，使得.

【解析】试题分析：

（1）本题用直接法求动点轨迹方程，设支点坐标为，当然由已知分析，动点不能在轴左侧，然后利用直线与圆相切和两圆外切的条件列出方程，化简即可；

（2）假设存在满足题意的直线，设出直线方程，分析发现直线的斜率为0时不合题意，从而设直线方程为，设，直线方程与曲线方程联立方程组，消去变量后得的一元二次方程，由韦达定理得，设，得， ，由求出值，得直线方程，若不能求出实数，则说明假设错误，不存在相应的直线.

试题解析：

（1）设，分析可知：动圆的圆心不能在轴的左侧，故，

∵动圆与直线相切，且与圆外切，

∴，

∴，

∴，

化简可得；

（2）设，

由题意可知，当直线与轴垂直时，显然不符合题意，

故可设直线的方程为，

联立和并消去，可得，

显然，由韦达定理可知，①

又∵，

∴，②

∵，∴，③

假设存在，使得，

由题意可知，∴，④

由点在抛物线上可知，即，⑤

又，

若，则，

由①②③④⑤代入上式化简可得，

即，

∴，故，

∴存在直线或，使得．

点睛：解答探索直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，主要有两个方向：（1）根据圆锥曲线的方程及性质直接进行解答；（2）通过假设存在，然后由此出发进行推，最后判断其推导结果是否合理．