Question

如图，在直三棱柱中， 为的中点， .

（1）证明： 平面；

（2）若，求点到平面的距离.

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：

（1）要证直线与平面垂直，就要证与平面内两条相交直线垂直，由已知， 为中点可证，从而可得，另外直三棱柱的底面是直角三角形，因此有与侧面垂直，从而得，这样由线面垂直的判定定理可得线面垂直；

（2）要求到平面的距离，可用体积法求得，首先求出的面积，通过计算求出（已知除外）三边长，另外的体积可通过来求，这里到平面的距离就是（（1）中已证），体积可求．

试题解析：

（1）证明：

∵直三棱柱，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴平面.

∵平面，

∴，

∵为的中点，

∴，

∴与相似，且有，

∵，

∴ ；

（2）在矩形中， 为的中点，

可得，

在，由可得，

从而可求得，

显然有，即，

为点到平面的距离，

∵平面，

由，可得，

计算得， ，

∴，可推出，

∴点到平面的距离是.