Question

已知．

（1）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（2）证明：对一切，都有成立．

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）根据两个函数不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用组织思想解答，注意看两个函数的最大值和最小值之间的关系，即可得到实数的取值范围；（2）要证明不等式成立，问题等价于证明，又可知的最小值为，构造新函数的最小值是，构造新函数，得到结论．

试题解析：（1），则，

设，则，

单调递减，②单调递增，

所以，对一切恒成立，所以；

（2）问题等价于证明，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，易知

，当且仅当时取到，

从而对一切，都有成立.

考点：利用导数研究函数的单调性；用导数研究函数的最值．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、用导数研究函数的极值与最值，同时考查了利用函数的最值解答函数的恒成立问题，其中解答的关键是构造新函数，利用新函数的性质，合理、灵活的作答，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，把要证明不等式成立，问题等价于证明，构造新函数的最小值是是解答的关键，属于中档试题．