Question

已知函数

  （I）求函数在上的最小值；

  （II）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值.

Answer

（1）见解析（2）3

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点与定义区间位置关系讨论最值取法：当时，最小值为，当时，最小值为，

（2）先将公共点转化为对应方程的【解析】
在上有且只有一个根.利用导数研究函数单调性：先将后增，确定有且只有一个根充要条件： .

试题解析:（I）令，得.

①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时函数在区间上的最小值为

②当时，函数在区间上单调递增，此时函数在区间上的最小值为

（II）由题意得， 在上有且只有一个根，

即在上有且只有一个根. 令，

则，

易知在上单调递减，在上单调递增，所以，

由题意可知，若使与的图象恰有一个公共点，则

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．