Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，证明： ；

（Ⅱ）当，且时，不等式成立，求实数的取值范围 .

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）要证，只需证，构造差函数，转化为证明最小值大于零，利用导数研究函数单调性，可得结果，（2）先化简所求不等式： ，分及两种情况说明，主要研究分子函数，利用二次求导可得当时， 在上是减函数， 在上是减函数， ； 在上是增函数， 在上是减函数，从而， ，因此当时，满足题意.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵， ， ，即，

令， ，则在上是增函数，

故，即命题结论成立．

（Ⅱ）原不等式等价于．

当时， ；当时， ，

原不等式等价于，

令，

令， ，

①当时，有，

令，则，故在上是减函数，即，

因此在上是减函数，从而，

所以，当时，对于，有，

当时，有，

令，则，故在上是增函数，即，

因此， 在上是减函数，从而， ，

所以当时，对于，有，

综上，当时，在，且时，不等式成立．