Question

已知椭圆： ，过点作圆的切线，切点分别为， ，直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦， ，设， 的中点分别为， ，证明：直线必过定点，并求此定点坐标．

Answer

（1）（2）直线过点．

【解析】试题分析：（1）先根据直线与圆相切求切线方程，再根据椭圆几何条件确定， ，（2）直线过定点问题，一般先利用特殊情况确定定点，转化为证三点共线：先联立直线： ，与椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求中点（用直线AB斜率表示），同理可得点坐标，利用两点斜率公式证三点共线.

试题解析：（Ⅰ）由切点弦方程知切线方程为，令，则，所以上顶点的坐标为，

所以，令，则，

所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）若直线， 斜率均存在，设直线： ， ， ，

则中点．先考虑的情形．

由得，

由直线过点，可知判别式恒成立，

由韦达定理，得，故，同理可得.

若，得，则直线斜率不存在，此时直线过点．

另当斜率为0时，直线也过点．

下证动直线过定点，

， ，

∴，即直线过点．