Question

如图1，在边长为2的正方形中， 是边的中点．将沿折起使得平面平面，如图2， 是折叠后的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取中点，根据平行四边形性质可得，再根据线面平行判定定理得平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间相等或互补关系求解.

试题解析：（Ⅰ） 证明：取中点，连结，

∵为中点，∴ ， ，

∴，

∴四边形是平行四边形

∴，又平面， 平面，

∴平面

（Ⅱ）如图示以为坐标原点，

建立空间直角坐标系

则由已知得，

，

设平面的法向量为

则

解得一个法向量为

设平面的法向量为

则

解得一个法向量为

∵， ，

∴二面角的平面角的余弦值．