Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明： （， ）.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，

.

令，

记，当时，得.

若，则， ，

此时函数在上单调递减.

当时，由得或.显然.

故此时函数在上单调递增，

在和上单调递减.

综上，当时， 在上单调递增，

在和上单调递减；

当时，函数在上单调递减.

（Ⅱ）令，由（Ⅰ）讨论可得函数在区间上单调递减，

又，从而当时，有，即.

令，

则 ，

从而

，

则有 ，

可得 .

【点睛】首先确定函数的定义域，求导，对参数分情况讨论函数的单调区间；利用函数在区间上单调递减，说明不等式，以这个不等式为基础，令，得出不等关系后，对，再进行叠加得出所要证明的不等式，本题是导数与证明数列不等式综合问题，关键是利用导数证明函数不等式，在函数不等式的基础上令，得出关于的不等关系，在对 得出的一列不等式进行叠加或叠成，得出所要证明的不等式，有一定的难度，常常作为压轴题.